Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.
Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo $ε$ > 0 existe un $δ > 0$ tal que para todo número real x en $0 < left| x - p right| < delta$ , tenemos que

$left|fleft(xright)-Lright| < epsilon$

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

$lim_{x to p}f(x) = L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, p) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si $0 < left| x - a right| < delta$ , entonces $left| fleft(xright) - L right| < epsilon$

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Notación de límite

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

$lim_{x to p}f(x) = L$ ( $x,Lin{mathbb{R}}$ )

si y sólo si

para todo $varepsilon>0$ existe un $δ > 0$ tal que para todo número real x en el dominio de la función

$0 < |x-p| < delta Rightarrow |f(x)-L| < varepsilon$

Notación formal: $forall_{varepsilon >0} exists_{delta >0} / forall_{xinmathbb{D}} 0< |x-p|<delta Rightarrow |f(x)-L|< varepsilon$

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos [ $infty ,!$ refiere al límite a infinito y $0 ,!$ al límite a 0 (no al número 0)]:

$infty - infty ,!$
$frac{infty}{infty}$
$infty cdot 0$

$frac{0}{0}$
$infty ^0 ,!$
$1^infty ,!$
$0^0 ,!$

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

$lim_{trightarrow 0}frac{t}{t^2}=infty$
$lim_{trightarrow 0}frac{t}{t}=1$
$lim_{trightarrow 0}frac{t^2}{t}=0$

Propiedades de los límites

$lim_{x to p} k =, k,$
$lim_{x to p} x = , p ,$
$lim_{x to p} kf(x) =, klim_{x to p} f(x),$
$lim_{x to p} (f(x) + g(x)) =, lim_{x to p} f(x) + lim_{x to p} g(x),$
$lim_{x to p} (f(x) - g(x)) =, lim_{x to p} f(x) - lim_{x to p} g(x),$
$lim_{x to p} (f(x) g(x)) =, lim_{x to p} f(x) cdot lim_{x to p} g(x),$
$lim_{x to p} {{f(x)}over {g(x)}} =, {{lim_{x to p} {f(x)}} over {lim_{x to p} {g(x)}}}, si g(x) ne 0 ,$
${lim_{x to 0} left(1+xright)^{1 over x}} =, e$
${lim_{x to infty} left(1+{1 over x}right)^x } =, e$
${lim_{x to infty} x ; sin left (frac {2pi}{x} right ) cos left (frac {2pi}{x} right )} =,2pi$
${lim_{x to 0} {{operatorname{sen}x} over x}} =, 1 ,$ (al igual que su recíproca)
${lim_{x to 0} {tan x over x}} =, 1 ,$ (al igual que su recíproca)
${lim_{x to 0} {operatorname{sen}x over tan x}} =, 1 ,$ (al igual que su recíproca)
${lim_{x to p} left(f(x) cdot g(x)right)} =, 0 Leftrightarrow$ f(x) acotada y g(x) infinitésimo
${lim_{x to 0} frac {1-cos x}{x} } =, 0 ,$