Valor absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo^[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real $a,$ está definido por:^[2]

$|a| = begin{cases} ;;;a, & mbox{si } a ge 0 -a, & mbox{si } a < 0 end{cases}$

Note que, por definición, el valor absoluto de $a,$ siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real $a,$ corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde $a,$ hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales

$\|a\| ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| le \|a\| + \|b\|$	Propiedad aditiva

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\| frac {a}{b}\| = frac {\|a\|}{\|b\|} (si b ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| le b iff -b le a le b$
$|a| ge b iff a ge b vee a le -b$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$\|x-3\| le 9$	$iff -9 le x-3 le 9$
	$iff -6 le x le 12$