calculo - Unidad 2.Limites y Continuidad

Definición de límite y continuidad de una función.

$begin{dff} (Heine) Se dice que una funci'on $f:Amapsto mbox{${mathbb{R}... ...tarrow displaystyle lim_{ntoinfty} f(x_n)=l . end{displaymath} end{dff}$

**Figura 22:** Definición de límite según Heine

begin{dff}
(Weiersstras)
Se dice que una funci'on $f:Amapsto mbox{${math...
...htarrow hspace{.5cm}
vert f(x)-lvert<epsilon .
end{displaymath} end{dff}

Es decir que $displaystyle lim_{xto a}f(x)=l$ si y sólo si cualquiera sea el entorno de que escojamos, existe un entorno de , que no contiene a tal que (ver la figura 23).

**Figura 23:** Definición de límite según Weierstrass

$begin{dff} Diremos que una funci'on es continua en $x=ainmathrm{Dom}(f)$(pun... ...x=a$ y begin{displaymath} lim_{xto a} f(x)=f(a). end{displaymath}end{dff}$

Existen cuatro tipos fundamentales de discontinuidad:

Discontinuidad evitable

Esta discontinuidad tiene lugar si existe el límite $displaystyle lim_{xto a}f(x)=l$ pero la función en , o no está definida, o no coincide con el límite . Es evitable pues en podemos redefinir la función de la tal forma que .

**Figura 24:** Función con discontinuidad evitable en .

Discontinuidad no evitable (o escencial) de salto finito

Esta discontinuidad tiene lugar si existen los límites laterales $displaystyle lim_{xto a+}f(x)=l_1$ y $displaystyle lim_{xto a-}f(x)=l_2$ existen pero son diferentes. Por tanto, no existe el límite de en . Además en este caso es imposible redefinir la función de la tal forma que .

**Figura 25:** Función con discontinuidad de salto finito en .