Regla de la Cadena

La regla de la cadena es una de las reglas más útiles ya que permite derivar funciones de funciones (composiciones de funciones).

Se expresa de la siguiente forma:

Una forma intuitiva de ver esto es considerar la función f como una función de un "algo" y derivar respecto a ese "algo" olvidándonos de los detalles o su estructura interior. Por ejemplo, intentemos derivar la siguiente función:

La regla de la cadena de la cadena nos dice que tomemos la función más exterior (seno de "algo") y derivemos primero esa función respecto a ese "algo" y luego multipliquemos el resultado obtenido por la derivada del propio "algo". Es decir, la primera parte de la regla la podemos ver así:

y ¿cuánto vale esta derivada? Pues ya sabemos que la derivada del seno es el coseno, así que:

sustituyendo el "algo" por el valor concreto, nos queda como primera parte de aplicar la regla lo siguiente:

Ahora tenemos que seguir y aplicar la segunda parte de la regla que dice que el resultado obtenido hay que multiplicarlo por la derivada del propio "algo",  y esto es ya aplicar la regla del cociente vista anteriormente:

 

Corolarios

Dos corolarios muy útiles a todo lo anterior son la regla de la potencia y de la constante.

La regla de la constante expresa básicamente que cualquier constante se puede "sacar" fuera (o meter dentro) del signo de derivación:

Por último, la regla de la potencia es una consecuencia inmediata de la derivación de productos y de la regla de la cadena:

Un ejemplo inmediato de aplicación sería calcular la derivada de la raíz cuadrada de un seno: