Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente
Tomando límites cuando h --> 0,
sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.
Resolución:
f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x
f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.
Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
