EJERCICIOS DE APLICACION
Aplicación física de la derivada
Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t] es: vM(t)=
, que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , 
, calcula la velocidad en el instante t =5.
Solución
v(t)=E’(t)= 2t -6 en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
y - f(a) = f ´(a)(x-a) .
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f, pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.
Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
